Question

【题目】如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；

（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）线段OC的长度；（3）S△MOC最大值为．

【解析】

（1）C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=-1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；
（2）点A关于C2对称轴的对称点是点O（0，0），连接OC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）= -x2+x，即可求解．

（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），

∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，

则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：

0＝﹣16+4b，解得：b＝4，

故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；

（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，

故点C（3，3），

连接OC交函数C2的对称轴与点P，

此时PA+PC的值最小为：线OC的长度;

设OC所在直线方程为：

将点O（0，0），C（3，3）带入方程，解得k=1，

所以OC所在直线方程为：

点P在函数C2的对称轴上，令x=2,带入直线方程得y=2,

点P坐标为（2，2）

（3）由（2）知OC所在直线的表达式为：y＝x，

过点M作y轴的平行线交OC于点H，

设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则MH=﹣x2+4x﹣x

则S△MOC=S△MOH+S△MCH

=MH×xC = （﹣x2+4x﹣x）=

∵△MOC的面积是一个关于x的二次函数，且开口向下

其顶点就是它的最大值。其对称轴为x==，此时y=

S△MOC最大值为．