(1)证明:如图,连接BF,
∵CE⊥BD,
∴∠DGF=90°,
∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠EAF=90°,
∴∠DGF=∠EAF=90°,
在△AFE和△GFD中,
∵
,
∴△AFE≌△GFD(AAS),
∴AF=GF,
在Rt△AFB和Rt△GFB中,
∵
,
∴Rt△AFB≌Rt△GFB(HL),
∴∠AFB=∠GFB,
又∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠CBF,
∴BC=FC;
(2)解:∵AD∥BC,
∴∠AFE=∠BCE,
∵AF=1,tan∠BCE=
,
∴AE=AF•tan∠AFE=1×
=
,
根据勾股定理,EF=
=
=
,
∴AD=AF+FD=1+
=
,
设BC=x,∵tan∠BCE=
,
∴BE=BC•tan∠BCE=
x,
CE=
x,
由(1)可知FC=BC=x,
∴
x=
+x,
解得x=5,
∴AB=BE-AE=
×5-
=3,
∴S
梯形ABCD=
×(
+5)×3=
.
分析:(1)连接BF,利用“角角边”证明△AFE和△GFD全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=GF,再利用“HL”证明Rt△AFB和Rt△GFB全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AFB=∠GFB,根据梯形的对边AD∥BC,利用两直线平行,内错角相等求出∠AFB=∠CBF,再根据等角对等边即可得证;
(2)根据两直线平行,同位角相等求出∠AFE=∠BCE,然后解直角三角形求出AE、EF的长,从而可以求出AD的长,再设BC=x,解直角三角形表示出BE、CE,再根据CE=EF+CF列出方程求解得到BC的值,再求出AB的值,然后根据梯形的面积公式列式进行计算即可得解.
点评:本题考查了直角梯形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形,(2)利用解直角三角形表示出三角形的边的长,然后列出方程求出BC的长是解题的关键,也是本题的难点.