Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．
（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；
（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE=2，进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可；
（2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据y=0，得出x的定义域即可；
（3）分三种情况探讨：①当BH=BG时，②当GH=GB，③当HG=HB，分别探讨得出答案即可．

解答 解：（1）∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=∠AFE=90°，
∵点F是线段CE的中点，
∴CF=EF，
在△ACF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=EF}\\{∠AFC=∠AFE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△AEF，
∴AE=AC=10，
∴BE=2，
∵∠CGF=∠AGB，∠GFC=∠ABG，
∴∠FCG=∠GAB，∠CBE=∠ABG，
∴△CBE∽△ABG，
∴$\frac{CB}{AB}$=$\frac{BE}{BG}$，
即$\frac{6}{8}$=$\frac{2}{BG}$，
BG=$\frac{8}{3}$，
∴CG=$\frac{10}{3}$，
∵∠GCF=∠BCE，∠CFG=∠CBE，
∴△CGF∽△CBE，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{CG}{CE}$，
又CE=2CF，
∴2CF²=BC•CG，
∴CF=$\sqrt{10}$，
∴GF=$\sqrt{C{G}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
（2）如图，

作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，
∵AF⊥CE，
∴ON∥BM∥CE，
∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，
∴$\frac{ON}{BM}$=$\frac{OH}{HB}$=$\frac{y}{5-y}$，$\frac{ON}{CF}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BM}{CF}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{BG}{6-GB}$，
∴$\frac{5-y}{2y}$=$\frac{BG}{6-GB}$，
又∵△CBE∽△ABG，
∴$\frac{CB}{AB}$=$\frac{BE}{BG}$，BE=x，
∴BG=$\frac{4}{3}$x，
∴$\frac{5-y}{2y}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{4}{3}x}$，
则y=$\frac{45-10x}{2x+9}$（0＜x＜$\frac{9}{2}$）．
（3）当△BHG是等腰三角形，
①当BH=BG时，△AHD∽△BHG，$\frac{BH}{HD}$=$\frac{BG}{AD}$，则5+y=6，y=1，由y=$\frac{45-10x}{2x+9}$，解得x=3；
②当GH=GB，△GBH∽△OBC，同理解得x=$\frac{7}{4}$；
③当HG=HB，得出∠HGB=∠HBG=∠OCB不存在．
所以BE=3或$\frac{7}{4}$．

点评 此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识设计的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想．