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【题目】ABC中,ACB=2B,如图,当C=90°,AD为BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD。

(1)如图,当C90°,AD为BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明;

(2)如图,当AD为ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明。

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析:(1)首先在AB上截取AE=AC,连接DE,易证ADE≌△ADC(SAS),则可得AED=C,ED=CD,又由AED=ACB,ACB=2B,所以AED=2B,即B=BDE,易证DE=CD,则可求得AB=AC+CD;

(2)首先在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED,易证EAD≌△CAD,可得ED=CD,AED=ACD,又由ACB=2B,易证DE=EB,则可求得AC+AB=CD

试题解析:(1)猜想:AB=AC+CD

证明:如图,在AB上截取AE=AC,连接DE,AD为BAC的角平分线时,∴∠BAD=CAD,

AD=AD,∴△ADE≌△ADC(SAS),∴∠AED=C,ED=CD,∵∠ACB=2B,∴∠AED=2B,

∵∠AED=B+EDB,∴∠B=EDB,EB=ED,EB=CD,AB=AE+DE=AC+CD

(2)猜想:AB+AC=CD

证明:在BA的延长线上截取AE=AC,连接EDAD平分FAC,∴∠EAD=CAD

EAD与CAD中,AE=AC,EAD=CAD,AD=AD,∴△EAD≌△CAD(SAS)

ED=CD,AED=ACD∴∠FED=ACB,又∵∠ACB=2B,∴∠FED=2B,FED=B+EDB,

∴∠EDB=B,EB=EDEA+AB=EB=ED=CDAC+AB=CD

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