Question

如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，延长AB到E，使BE=CD，连接DE交BC于F．
（1）DF=EF；
（2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a、b满足a²+b²-10a-6b+34=0，求BF的长；
（3）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题可通过构建全等三角形来证得，过点D作DG∥AB交BC于G，很显然△CDG也是个等边三角形，CD=DG，那么本题的关键就是证△CDG和△FBE全等．已知的条件有CD=DB=BE，一组对顶角，又根据DG∥BE可得出∠E=∠GDF，由此就凑齐了两三角形全等的所有条件，因此两三角形全等，DF=BF；
（2）根据（1）可知BF=GF，那么得出BC和CG的长就是关键，CG=CD=BE，所以求出BE和三角形ABC的边长是关键，也就是求出a，b的值，可根据题中给出的方程来求出a，b的值；
（3）根据（1）得出的结论，我们知道：CG=CD，BF=GF，因此AB=2BF+CG，可根据此关系来得出关于x，y的函数关系式．

解答：（1）证明：过点D作DG∥AB交BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
又∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠CGD=60°，
∠GDF=∠E，
∴△CDG也是等边三角形，
∴DG=CD=BE，
在△DGF和△EBF中，

∠GDF=∠E ∠DFG=∠EFB DG=BE

∴△DGF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；

（2）解：由a²+b²-10a-6b+34=0，得（a-5）²+（b-3）²=0，
∵（a-5）²≥0，（b-3）²≥0，
∴（a-5）²=0，（b-3）²=0，
∴a=5，b=3，即：BC=5，CG=BE=3，
又∵△DGF≌△EBF，
∴BF=GF，
∴BF=

1

2

BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（5-3）=1；

（3）解：∵CD=x，BF=y，BC=5，
又∵BF=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（BC-CD）=

1

2

（5-x），
∴y=-

1

2

x+

5

2

为所求的解析式，
∵点D直线直线AC上，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜5．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，通过构建全等三角形得出线段相等是本题解题的关键．