Question

5．在△ABC中，AB=m，AC=n，P是AB的中点，过P点的直线交AC边于Q点，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（　　）

• A． $\frac{m}{2}$
• B． $\frac{n}{2}$
• C． $\frac{m}{2}$或$\frac{{n}^{2}}{2m}$
• D． $\frac{n}{2}$或$\frac{{m}^{2}}{2n}$

Answer 1

分析 分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：∵P是AB的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$m，
（1）当△APQ∽△ABC时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{\frac{m}{2}}{m}$=$\frac{AQ}{n}$，
解得，AQ=$\frac{n}{2}$；
（2）当△APQ∽△ACB时，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{\frac{m}{2}}{n}$=$\frac{AQ}{m}$，
解得，AQ=$\frac{{m}^{2}}{2n}$；
故选：D．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．