Question

已知矩形EFGC（如图1）的一边EC和对角线CF分别与矩形ABCD的对角线AC及边BC重合．连接AF，取AF的中点为M，连接BM、EM．
（1）求证：MB=ME；
（2）如图2，若将（1）中的矩形EFGC绕着点C旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1．
∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGC是矩形，
∴∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF，
∵M为AF中点，
∴BM=AF，EM=AF，
∴BM=EM；

（2）若将（1）中的矩形EFGC绕着点C旋转一定的角度，其它条件不变，则（1）中的结论还成立，理由如下：如图2．
证明：设大小矩形的中心分别为O、O′，连接BD，OM，MO′，EG．
∵M，O′分别为AF，CF的中点，
∴MO′=AC=OB；同理EO′=CF=OM．
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠OAB=∠EFO′，
又∵OB=AC=OA，
∴∠OAB=∠OBA；
同理可证∠EFO′=∠FEO′．
∴∠AOB=∠EO′F，①
又∵OM∥CF，MO′∥AC，
∴∠AOM=∠OCF=∠MO′F，②
由①，②得：∠BOM=∠MO′E，
在△BMO与△MEO′中，

∴△BMO≌△MEO′（SAS），
∴BM=ME．
分析：（1）先由矩形的性质得出∠ABF=90°，∠FEC=90°=∠AEF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出BM=AF，EM=AF，则MB=ME；
（2）设大小矩形的中心分别为O、O′，连接BD，OM，MO′，EG，由SASD证明△BMO≌△MEO′即可．
点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，综合性较强，有一定难度，正确作出辅助线是解题的关键．