Question

5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=$\sqrt{5}$，tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，一次函数y=k₁x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象过OA的中点D．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y=k₁x+b的图象得y=k₁x+b₁，当一次函数y=k₁x+b₁的图象与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象无交点时，求b₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE=OE=$\frac{1}{2}$OB，OB⊥AC，由三角函数tan∠AOB=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，得出OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得出OA=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，求出k₂的值即可；
（3）由题意得出方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b_1}\\{y=-\frac{1}{2x}}\end{array}\right.$ 无解，消去y化成一元二次方程，由判别式△＜0，即可求出b₁的取值范围．

解答 解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：
∵四边形ABCO是菱形，
∴BE=OE=$\frac{1}{2}$OB，OB⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∴tan∠AOB=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=2AE，
设AE=x，则OE=2x，
根据勾股定理得：OA=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，
∴x=1，
∴AE=1，OE=2，
∴OB=2OE=4，
∴A（-2，1），B（-4，0），
把点A（-2，1），B（-4，0）代入一次函数y=k₁x+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-2{k}_{1}+b=1}\\{-4{k}_{1}+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k₁=$\frac{1}{2}$，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+2；
∵D是OA的中点，A（-2，1），
∴D（-1，$\frac{1}{2}$），
把点D（-1，$\frac{1}{2}$）代入反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：k₂=-$\frac{1}{2}$，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2x}$；

（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+b₁，
∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b₁的图象与反比例函数y=-$\frac{1}{2x}$的图象无交点，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b_1}\\{y=-\frac{1}{2x}}\end{array}\right.$ 无解，
即$\frac{1}{2}$x+b₁=-$\frac{1}{2x}$无解，
整理得：x²+2b₁x+1=0，
∴△=（2b₁）²-4×1×1＜0，b₁²＜1，
解得：-1＜b₁＜1，
∴当一次函数y=k₁x+b₁的图象与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象无交点时，b₁的取值范围是-1＜b₁＜1．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果．