Question

如图已知矩形ABCD沿着BD折叠，使点C落在C?处，BC?交AD于点E，AD=8，AB=4．
（1）求证：BE=DE；
（2）求AE的长； 
（3）若过点E作EF⊥BD于F，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质可知：∠ADB=∠CBD，再由折叠知∠CBD=∠EBD，即可得到∠EBD=∠EDB，证明出BE=DE；
（2）设AE=EC′=x，则DE=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出AE的长；
（3）由△BFE∽△BC′D，列出比例关系即可求出EF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵∠CBD=∠EBD，
∴∠EBD=∠EDB；

（2）解：设AE=EC′=x，则DE=8-x，
在Rt△DC′E中，C′E²+C′D²=DE²，即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，即AE的长为3；

（3）解：∵EF⊥BD，
∴∠EFB=90°=∠C′，
又∵∠EBF=∠DBC′，
∴Rt△BFE∽Rt△BC′D，
∴

EF

C′D

=

BE

BD

，
即

EF

4

=

5

4 5

，
解得EF=

5

，
∴EF的长为

5

．

点评：本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是掌握矩形的性质、相似的三角形的性质以及翻折变换的知识，此题难度一般．