Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，以CD为直径的⊙O交AC于点E，连接BE交⊙O于点F，延长DF交BC于点M，且∠BDF=∠DEB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BM=5，MF=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠DEC=90°，根据题意得到∠BDC=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）证明△BMF∽△DMB，根据相似三角形的性质求出DF，证明△DFE∽△MFB，列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴∠CEF+∠DEF=90°，
∵∠CEF=∠CDF，∠BDF=∠DEB，
∴∠CDF+∠BDF=90°，
∴∠BDC=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠BEC+∠EBC=90°，∠BEC+∠BED=90°，
∴∠BED+∠EBC=90°，又∠BDF=∠DEB，
∴∠BDF=∠FBM，又∠BMD=∠FMB，
∴△BMF∽△DMB，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{FM}{BM}$，即$\frac{5}{DM}$=$\frac{4}{5}$，
解得，DM=$\frac{25}{4}$，
∴DF=DM-FM=$\frac{9}{4}$，
∵∠DEC=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△DFE∽△MFB，
∴$\frac{DE}{BM}$=$\frac{DF}{FM}$，即$\frac{DE}{5}$=$\frac{\frac{9}{4}}{4}$，
解得，DE=$\frac{45}{16}$．

点评 本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．