Question

已知，点O为等边三角形ABC的内心，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．当直线m与BC平行时（如图1），易证：BE+CF=AD，

当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

解：图2结论：BE+CF=AD
证明：连接AO并延长交BC于点G，作GH⊥EF于点H，
由图1可得AO=2•OG
∵AD∥GH，∴△ADO∽△GHO．∴AD=2•GH
连接FG并延长交EB的延长线于点M，
△BMG≌△CFG，BM=CF，MG=FG
∵GH∥EM，∴△FHG∽△FEM．∴BE+BM=2•GH
∴BE+CF=AD
图3结论：CF-BE=AD
分析：连接AO并延长交BC于点G，作GH⊥EF于点H，由图1可得AO=2•OG，进而可以证明△ADO∽△GHO得AD=2•GH，连接FG并延长交EB的延长线于点M，即可求证△FHG∽△FEM，即可求得BE+CF=AD，即可解题．
点评：本题考查了相似三角形的传递性，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了全等三角形的判定，本题中求证△FHG∽△FEM是解题的关键．