Question

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

分析：（1）设二次函数的解析式是y=ax²，把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；
（2）求出B、O的坐标，求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；
（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案．

解答：解：（1）设二次函数的解析式是y=ax²（a≠0），
把A（-4，4）代入得：4=16a，
a=

1

4

，
∴y=

1

4

x²，
把A（-4，4）代入y=kx+1得：4=-4k+1，
∴k=-

3

4

，
∴y=-

3

4

x+1，
答：一次函数与二次函数的解析式分别为y=-

3

4

x+1，y=

1

4

x²．

（2）答：以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．
证明：

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

得：

x1=-4 y1=4

，

x2=1 y2= 1 4

，
∴B（1，

1

4

），
AB的中点O的坐标是（-

3

2

，

17

8

），
OA=

(-4+ 3 2 )2+(4- 17 8 )2

=

25

8

，
O到直线y=-1的距离是

17

8

+1=

25

8

=0B，
∴以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，
由于平移后的抛物线对称轴为x=2，对称轴交x轴于D，
F（0，1），平移后二次函数的解析式是y=

1

4

（x-2）²-t，即y=

1

4

x²-x+1-t，
当y=0时，

1

4

x²-x+1-t=0，
设M（e，0），N（f，0），N在M的右边，
则e+f=-

-1

1 4

=4，e•f=

1-t

1 4

=4-4t，
∴MN=f-e=

(f+e)2-4ef

=4

t

，
MD=2

t

，
设圆心坐标（2，y），根据OF=ON，
∴

22+(y-1)2

=

y2+(2 t )2

，
y=

5

2

-2t，
r=

22+(y-1)2

=

(2t- 3 2 )2+4

，
当t=

3

4

时，半径有最小值2，圆面积最小为4π，
答：当t为

3

4

时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是4π．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，勾股定理，二次函数的最值，直线与圆的位置关系，解二元二次方程组等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．