Question

（2013•十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

Answer 1

分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；
（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH-BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值．

解答：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=

1

2

AB=3，
∴CH=

CA2-AH2

=4，
∵点O在高CH上，圆O过点H，
∴圆O与AB相切于H点，
由（1）得圆O与CB相切于点E，
∴BE=BH=3，
如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴

BE

BC

=

EF

CH

，即

3

5

=

EF

4

，
解得：EF=

12

5

，
∴S_△BHE=

1

2

BH•EF=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

，
在Rt△BEF中，BF=

BE2-EF2

=

9

5

，
∴HF=BH-BF=3-

9

5

=

6

5

，
则tan∠BHE=

EF

HF

=2．

点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．