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13.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点G,交BC的延长线于点F,连接AF、DE,下列结论:①△AEF≌△DEF②CF=AF-CD③DE∥AC④△AEG为等边三角形,其中正确结论有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 由垂直平分线的性质可求得AE=DE、AF=DF,则可证得△AEF≌△DEF,可判断①;由①可得AF=DF,则可判断②;由角平分线和①的结论,可证DE∥AC,可判断③;利用题目条件无法判断④正确;可得出答案.

解答 解:
∵EF垂直平分AD,
∴AE=DE,AF=DF,
在△AEF和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AF=DF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEF(SSS),故①正确;
∵DF=DC+CF,
∴CF=DF-CD=AF-CD,故②正确;
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD,且∠EAD=∠EDA,
∴∠EDA=∠CAD,
∴DE∥AC,故③正确;
当△AEG为等边三角形时,则∠AEG=∠DEG=∠BED=60°,
∠AFE=∠DFE=∠B=30°,则△ABC为直角三角形,而题目条件中没有该条件,
即由题目条件无法得出△AEG为等边三角形,故④不正确;
综上可知正确的结论有3个,
故选C.

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质,利用线段垂直平分线的性质得到AE=DE、AF=DF是解题的关键.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

20.在一节数学课上,老师出示了这样一个问题让学生探究:
已知:如图在△ABC中,点D 是BA边延长线上一动点,点F 在BC上,且$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{2}$,连接DF交AC于点E.
(1)如图1,当点E恰为DF的中点时,请求出$\frac{AD}{AB}$的值;
(2)如图2,当$\frac{DE}{EF}$=a(a>0)时,请求出$\frac{AD}{AB}$的值(用含a的代数式表示).
思考片刻后,同学们纷纷表达自己的想法:
甲:过点F作FG∥AB交AC于点G,构造相似三角形解决问题;
乙:过点F作FG∥AC交AB于点G,构造相似三角形解决问题;
丙:过点D作DG∥BC交CA延长线于点G,构造相似三角形解决问题;
老师说:“这三位同学的想法都可以”.
请参考上面某一种想法,完成第(1)问的求解过程,并直接写出第(2)问$\frac{AD}{AB}$的值.

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4.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E在DB的延长线上,连接EC.过点D作DM⊥EC,垂足为M,DM与AC相交于点F,连接EF.求证:
EF∥BC.

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1.如图,AD为△ABC的高,BE为△ABC的角平分线,若∠EBA=34°,∠AEB=72°.
(I)求∠CAD和∠BAD的度数;
(2)若点F为线段BC上任意一点,当△EFC为直角三角形时,试求∠BEF的度数.

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8.我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”
(1)已知:四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A=70°,∠B=80°,求∠C、∠D的度数

(2)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,CD为斜边AB上的中线,过点D作DE⊥CD交AC于点E,求证:四边形BCED是“等对角四边形”.

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18.小明家在百货商场的北偏西40°方向2500米处,图书馆在农业银行东偏南40°方向1500米处,如图是小明坐出租车从家去图书馆的路线图,已知出租车在3千米以内(含3千米)按起步价9元计算,以后每增加1千米车费就增加2元.请你按图中提供的信息算一算,小明一共要花多少元出租车费?

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5.某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如表所示:
AB
进价(万元/套)1.51.2
售价(万元/套)1.651.4
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.[毛利润=(售价-进价)×销售量]
(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?

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2.解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1-2(x-1)≤5①}\\{\frac{3x+2}{2}<x+\frac{5}{2}②}\end{array}\right.$.

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3.如图是某地某天温度变化的情况,根据图象回答问题:
(1)上午3时的气温是多少?
(2)这一天的最高温度和最低温度分别是多少?
(3)这一天的温差是多少?从最低温度到最高温经过了多长时间?
(4)图中A点表示的是什么?D点呢?

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