Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点．
（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM是否垂直，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得到∠P=∠POM=∠OGF=90°，再根据等角的余角相等可得∠PNO=∠GOA，然后根据相似三角形的判定方法即可得到△OGA∽△NPO；
（2）由E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2）得到OE=4，OG=2，则OP=OG=2，PN=GF=OE=4，由于△OGA∽△NPO，则OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，可求得GA=1，可得到A点坐标为（1，2），然后利用待定系数法即可得到过点A的反比例函数解析式；
（3）先根据B点的横坐标为4和B点在y=

2

x

得到B点坐标为（4，

1

2

），则BF=2-

1

2

=

3

2

，而AG=1，AF=4-1=3，所以OG：AF=2：3，GA：FB=1：

3

2

=2：3，则OG：AF=GA：FB，而∠OGA=∠F，根据相似三角形的判定方法得到△OGA∽△AFB，可得∠GAO=∠ABF，由∠ABF+∠BAF=90°，则∠GAO+∠BAF=90°，于是有直线AB与OM垂直．

解答：解：（1）△OGA和△NPO相似．理由如下：
∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°，
∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°，
∴∠PNO=∠GOA，
∴△OGA∽△NPO；

（2）∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），
∴OE=4，OG=2，
∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4，
∵△OGA∽△NPO，
∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，
∴GA=1，
∴A点坐标为（1，2），
设过点A的反比例函数解析式为y=

k

x

，
把A（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2，
∴过点A的反比例函数解析式为y=

2

x

；

（3）直线AB与OM垂直．理由如下：
把x=4代入y=

2

x

中得y=

1

2

，
∴B点坐标为（4，

1

2

），
∴BF=2-

1

2

=

3

2

，
而A点坐标为（1，2），
∴AG=1，AF=4-1=3，
∴OG：AF=2：3，GA：FB=1：

3

2

=2：3，
∴OG：AF=GA：FB，
而∠OGA=∠F，
∴△OGA∽△AFB，
∴∠GAO=∠ABF，
∵∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠GAO+∠BAF=90°，
∴∠OAB=90°，
∴直线AB与OM垂直．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式；运用待定系数法求函数的解析式；掌握旋转的性质和矩形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质．