Question

天气越来越炎热，为了有效避免蚊子干扰，蚊帐倍受广大消费者的青睐．某蚊帐专卖店试销一种成本为80元/件的蚊帐．规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于35%，该专卖店每天的固定费用是300元．试经销发现，每件销售单价相对成本提高x元（为整数）与日平均销售量y件之间的关系符合一次函数y=kx+b，且当x=10时，y=100；x=20时，y=80．
（1）求一次函数的关系式y=kx+b；
（2）该蚊帐专卖店日平均获得毛利润为W元（毛利润=销售收入-成本-固定费用），求W关于x的函数关系式；并求当销售单价为多少元时，日平均毛利润最大，最大日平均毛利润是多少元？
（3）若该批蚊帐总共有1080件，刚好在规定的a天（a为整数）内全部销售完毕，则a的值是

a=10或12或15

（写出一个即可）

Answer 1

分析：（1）根据当x=10时，y=100；x=20时，y=80，列出二元方程组解得k、b，进而得出答案；
（2）利用毛利润=销售收入-成本-固定费用，列出函数关系式求得最大值，
（3）根据每天买的件数，列出关系式求得a的范围．

解答：解：（1）根据题意得：

10k+b=100 20k+b=80

解得：

k=-2 b=120

故所求一次函数的关系式为y=-2x+120；

（2）由题意得出：
W=（-2x+120）x-300
即所示函数的关系式为：W=-2x²+120x-300
∵W=-2x²+120x-300=-2（x-30）²+1500
且抛物线的开口向下，
∴当x＜30时，W随x的增大而增大
而根据题意，得0≤x≤28
∴当x=28时，W_最大=-2（28-30）²+1500=1492．
∴当销售单价定为108元时，日均的毛利润最大，为1492元．

（3）a=10或12或15（写出一个即可）
而0≤x≤28，即32≤60-x≤60
∴60-x=2×3³，或60-x=3²×5，或60-x=2²×3²
解得x=6，或x=15，或x=24，
所以a=10或12或15．
故答案为：10或12或15．

点评：本题主要考查二次函数的应用以及凑整问题以及函数最值求法等知识，做题时一定要弄清题意，理清关系，综合性较强，体现了数学与实际生活的密切联系．