Question

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，且

AC

A′C′

=

CD

C′D′

．求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：设

AC

A′C′

=

CD

C′D′

=k，则AC=kA′C′，CD=kC′D′，再利用勾股定理得到AD=k

A′C′2-C′D′2

，A′D′=

A′C′2-C′D′2

，则AD=kA′D′，所以

AC

A′C′

=

CD

C′D′

=

AD

A′D′

=k，于是可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到△ADC∽△A′D′C′，则∠A=∠A′，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得Rt△ABC∽Rt△A′B′C．

解答：证明：设

AC

A′C′

=

CD

C′D′

=k，则AC=kA′C′，CD=kC′D′
∵DC⊥AB于点D，D′C′⊥A′B′于点D′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°，
在Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=

k2A′C′2-k2C′D′2

=k

A′C′2-C′D′2

，
在Rt△A′D′C′中，A′D′=

A′C′2-C′D′2

，
∴AD=kA′D′，
∴

AC

A′C′

=

CD

C′D′

=

AD

A′D′

=k，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A=∠A′，
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

点评：本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和勾股定理．