Question

（2012•葫芦岛）△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，求点C的坐标；
（2）当t=4时，求OD的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点D运动路线的长；
（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先由BC=AC，CD为AB边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D为AB的中点，则AD=

1

2

AB=4，然后在Rt△CAD中运用勾股定理求出CD=3，进而得到点C的坐标；
（2）如图2，当t=4时即AO=4，先由D为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=

1

2

AB=4，则OA=OD=AD=4，判定△AOD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出∠BAO=60°；
（3）从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD₁，由∠D₁OD=30°，OD=4，根据弧长的计算公式求解；
（4）分两种情况：①⊙C与x轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明△CAD∽△ABO，得出

AB

CA

=

AO

CD

，求出AO的值；②⊙C与y轴相切，同理，可求出AO的值．

解答：解：（1）如图1，∵BC=AC，CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
∴AD=

1

2

AB=4．
在Rt△CAD中，CD=

52-42

=3，
∴点C的坐标为（3，4）；

（2）如图2，当t=4时，AO=4，
在Rt△ABO中，D为AB的中点，OD=

1

2

AB=4，
∴OA=OD=AD=4，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠BAO=60°；

（3）如图3，从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD₁，其中，OD=OD₁=4，
又∵∠D₁OD=90°-60°=30°，
∴

DD1

=

30×π×4

180

=

2

3

π；

（4）分两种情况：
①设AO=t₁时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．
∴CA⊥OA，
∴CA∥y轴，
∴∠CAD=∠ABO．
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴Rt△CAD∽Rt△ABO，
∴

AB

CA

=

AO

CD

，即

8

5

=

t1

3

，
解得t₁=

24

5

；
②设AO=t₂时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．
同理可得，t₂=

32

5

．
综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为

24

5

或

32

5

．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，直线与圆相切，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（4）问进行分类讨论是解题的关键．