Question

2012年3月23日至3月25日为期3天、以“云联世界感知未来”为主题的2012中国（重庆）国际云计算博览会（下称云博会）在渝召开，重庆新市委书记张德江说在未来10年内重庆实施“云端计划”建设智慧重庆． 市委市政府非常重视“云端服务器”的建设，几年前就已经着手建设“云端服务器”，据统计，某行政区在去年前7个月内，“云端服务器”的数量与月份之间的关系如下表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6	7
云端服务器数量y1（台）	32	34	36	38	40	42	44

而由于部分地区陆续被划分到其它行政区，该行政区8至12月份“云端服务器”数量y₂（台）与月份x（月）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₁与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y₂与x之间满足的一次函数关系式；
（2）在2011年内，市政府每月对每一台云端服务器的资金也随月份发生改变，若对每一台服务器的投入的资金p₁（万元）与月份x满足函数关系式：p₁=-0.5x+10.5，（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月份的资金投入p₂（万元）与月份x满足函数关系式：p₂=0.5x+10（8≤x≤12，且x为整数）求去年哪个月政府对该片区的资金投入最大，并求出这个最大投入；
（3）2012年1月到3月份，政府计划该区的云端服务器每月的数量比去年12份减少2a%，在去年12月份的基础上每月每一台云端服务器资金投入量将增加0.5a%，某民营企业为表示对“智慧重庆”的鼎力支持，决定在1月到3月份对每台云端服务器分别赞助3万元．若计划1月到3月份用于云端服务器所需的资金总额（政府+民企赞助）一共达到546万元，请参考以下数据，估计a的整数值．（参考数据：17²=289，18²=324，QUOTE 87²=7569，88²=7744，89²=7921）19²=361）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图表可以得到每个月增加2个，因而是一次函数，根据每个月增加2个即可写出函数解析式，同理可以写出8月到12月的函数关系式；
（2）每个月的资金投入可以表示成月份x的函数，利用函数的性质，即可求得函数的最值；
（3）表示出2011年12月份，政府计划该区的云端服务器数量，以及每台投入资金，再根据总投入=3×每月总数量×每台投入资金，即可列出方程，从而求解．
解答：解：（1）根据表可以得到每月增加2个，则一定是一次函数，
则y=32+2（x-1），即y₁=2x+30；
y₂=26-3（x-8），即y₂=-3x+50．

（2）当1≤x≤7时，资金投入：W₁=（2x+30）（-0.5x+10.5），
即W₁=-x²+6x+315=-（x-3）²+324，
故当x=3时，投入最大，最大投入是：324（万元）；
当8≤x≤12时，资金投入是：W₂=（-3x+50）（0.5x+10），
即W₂=-1.5x²-5x+500，则对称轴是x=-=-，a=-1.5，开口向下，
当x=8时，函数取得最大值，最大值是：-1.5×64-5×8+500=364（万元）；
∵364＞324，
∴8月份政府的投入最大，最大是364万元；

（3）∵该行政区8至12月份“云端服务器”数量y₂（台）与月份x（月）之间函数关系式为：
y₂=-3x+50，
∴x=12时，y=14，
8至12月份的资金投入p₂（万元）与月份x满足函数关系式：p₂=0.5x+10，
则p=16，
根据题意得出：
3×14（1-2a%）×[16（1+0.5a%）+3]=546，
令a%=t，
整理得出：8t ²+15t-3=0，
解得：t₁=≈0.1875，t₂=-（舍去），
解得：a≈19．
答：a的整数值约为19．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据自变量的取值范围利用分段函数求出是解题关键．