Question

设m，n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂．如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m，n的值．

Answer 1

分析：先分别求出一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0和方程-x²+（2t-n）x+2nt=0的根，再根据两点间的距离公式表示出d₁、|d₂的值，再根据d₁≥d₂即可得到关于m、n的不等式，求出m、n的值即可．

解答：解：∵一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0可化为（x-mt）（x+3）=0，
∴此方程两根分别为mt和-3，
∴d₁=|mt+3|；
∵一元二次方程-x²+（2t-n）x+2nt=0可化为（x-2t）（x+n）=0，
∴此方程的两根分别为2t和-n，
∴d₂=|2t+n|．
∵d₁≥d₂，即|mt+3|≥|2t+n|，
∴（mt+3）²≥（2t+n）²，（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0（1）
由题意知，m²-4≠0，且（1）式对一切实数t恒成立，
∴

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

?

m＞2 4(mn-6)2≤0

?

m＞2 mn=6

∴

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

．
故答案为：

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

．

点评：本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，先求出两函数与x轴的交点，再根据题意得到关于n、m的不等式是解答此题的关键．