分析 (1)由题意作辅助线,作EH⊥OB于点H,由BO=4,求得OE,然后求出OH,EH,从而得出点E的坐标;
(2)根据题意,当E点到达△AOB的外面,且点D在点B左侧时,2<x<4即可;
(3)假设存在,由OO′=4-2-DB,而DF=DB,从而得到OO′=EF;
解答 解:(1)作EH⊥OB于点H,
∵△OED是等边三角形,
∴∠EOD=60°.
又∵∠ABO=30°,
∴∠OEB=90°.
∵BO=4,
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=2.
∵△OEH是直角三角形,且∠OEH=30°
∴OH=1,EH=$\sqrt{3}$,
∴E(1,$\sqrt{3}$).
(2)当2<x<4,符合题意,
如图,
所求重叠部分四边形OD′NE的面积为:
S△OD′E-S△E′EN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{1}{2}$E′E×EN
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{x-2}{2}$×$\sqrt{3}$(x-2)
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2+2$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$
(3)存在线段EF=OO'.
∵∠ABO=30°,∠EDO=60°
∴∠ABO=∠DFB=30°,
∴DF=DB.
∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF
点评 此题是几何变换综合题,主要考查利用三角函数求线段长度,动点问题是中考的重点内容,此题难度较大.
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