Question

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-2（m≠0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴负半轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）连接AD并延长交x轴于E，若AD：DE=4：5，求抛物线的解析式和B，C两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用配方法将一般式写成顶点式，即可求出顶点A的坐标；
（2）由（1）得，对称轴为直线x=1．设对称轴与x轴交于H，作DF⊥AH，可得DF∥EH，可得△ADF∽△AEH，根据相似三角形的性质可得抛物线的解析式，进一步得到B，C两点的坐标．

解答 解：（1）y=mx²-2mx+m-2=m（x²-2x+1）-2=m（x-1）²-2．
∴A点的坐标为（1，-2）．

（2）由（1）得，对称轴为直线x=1．设对称轴与x轴交于H，
作DF⊥AH，
∴DF∥EH，
∴△ADF∽△AEH，
∴AD：AE=AF：AH，
∵AD：DE=4：5，
∴AD：AE=AF：AH=4：9，
∵A（1，-2），D（0，m-2），
∴AF=m，
∴m：2=4：9，
∴$m=\frac{8}{9}$，
∴$y=\frac{8}{9}{x^2}-\frac{16}{9}x-\frac{10}{9}$，
B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{5}{2}，0）$．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是运用方程思想得到关于m的方程，求出m的值．