Question

如图，在☉O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=2AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D．

（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD，并说明理由．
（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得=

AC=

AP

，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是

BC

对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；

（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直径，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
在△PCD和△ABC中，

∠P=∠A ∠PDC=∠ACB AB=PC

，
∴△PCD≌△ABC（AAS）；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．