Question

15．如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC=90°；④∠A+2∠BEC=180°；⑤DB平分∠ADC．其中正确的结论有：①②③④（填序号）

Answer 1

分析 根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定一一判断即可．

解答 解：①∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC，
∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠MBC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）=∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，
④∵∠BEC=180°-$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠BAC），
∴∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，
⑤不妨设BD平分∠ADC，则易证四边形ABCD是菱形，推出△ABC是等边三角形，这显然不可能，故错误．
故答案为①②③④．

点评 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，菱形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．