Question

17．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．求证：S_△DEF=2S_△ABC．

Answer 1

分析 根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．

解答 证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，
∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，
∴S_△ADF=S_△ADC，S_△BEF=S_△BEC，S_△AEF=S_△BEF-S_△ABE=S_△BEC-S_△ABE=S_△ABC
∴S_△DEF=S_△ADE+S_△ADF+S_△AEF=S_△ABD+S_△ADC+S_△ABC=2S_△ABC．
即S_△DEF=2S_△ABC．

点评 本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．