Question

【题目】如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝．则tan∠DBC的值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据tan∠BAC＝，得出∠BAC的度数，则在Rt△ACB中，设BC＝1，则AC＝；证明△CAD为等边三角形，过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，则DE∥BC，从而∠DBC＝∠FDE，设CF＝x，则EF＝﹣x，根据tan∠DBC＝tan∠FDE列出关于x的方程，解得x值，则可求得tan∠DBC的值．

∵tan∠BAC＝，

∴∠BAC＝30°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∴设BC＝1，则AC＝，

∵AB⊥AD，

∴∠BAD＝90°，

∴∠DAC＝60°，

∵CA＝CD，

∴△CAD为等边三角形，

过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，

则有：CE＝AC＝，DE＝ADsin60°＝×＝，

设CF＝x，则EF＝﹣x，

∵AC⊥BC，DE⊥CA，

∴DE∥BC，

∴∠DBC＝∠FDE，

∴tan∠DBC＝tan∠FDE，

∴

∴＝，

解得：x＝，

∴tan∠DBC＝＝．

故选：D．