Question

如图1，抛物线y=mx²-11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：OB=______，OC=______；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=mx²-11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=mx²-11mx+24m，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8 ；

（2）连接AD，交OC于点E，
∵四边形OACD是菱形，
∴AD⊥OC，OE=EC=×8=4，
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴=，
∴AE²=BE•CE=1×4，
∴AE=2，…
∴点A的坐标为 （4，2）…
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=mx²-11mx+24m，得m=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x-12； …

（3）连接AD，交OC于点E
∵直线x=n与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为 （n，-n²+n-12），
由（2）知，点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x-4，
∴点N的坐标为 （n，n-4），
∴MN=（-n²+n-12）-（n-4）=-n²+5n-8，…
∴S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=MN•CE=（-n²+5n-8）×4
=-（n-5）²+9
∴当n=5时，S_{四边形AMCN}=9．
分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；
（3）首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识，根据已知得出△ACE∽△BAE是解决问题的关键．