Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
【小题1】求NC，MC的长（用t的代数式表示）
【小题2】当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
【小题3】当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．

Answer 1

【小题1】∵AQ=3﹣t，
∴CN=4﹣（3﹣t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CM=；（3分）
【小题2】由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4﹣t=t，
解得t=2，
则当t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；（6分）
【小题3】∵NC=t+1，MN=，
∴S_△MNC=×4×3，…（8分）
∴（1+t）²=8，
∴t₁=2﹣1，t₂=﹣2﹣1（舍）…（9分）
∴当t=2﹣1时，△ABC的面积被射线QN平分．…（10分）
当t=﹣2﹣1时，MC+NC=+1+t=≠（3+4+5），
∴此时△ABC的周长不被射线QN平分．…（12分）

解析