如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
【小题1】求NC,MC的长(用t的代数式表示)
【小题2】当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形?
【小题3】当t为何值时,射线QN恰好将△ABC的面积平分?并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分.
【小题1】∵AQ=3﹣t,
∴CN=4﹣(3﹣t)=1+t,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42,
∴AC=5,
在Rt△MNC中,cos∠NCM==
=
,CM=
;(3分)
【小题2】由于四边形PCDQ构成平行四边形,
∴PC=QD,即4﹣t=t,
解得t=2,
则当t=2时,四边形PCDQ构成平行四边形;(6分)
【小题3】∵NC=t+1,MN=,
∴S△MNC=×4×3,…(8分)
∴(1+t)2=8,
∴t1=2﹣1,t2=﹣2
﹣1(舍)…(9分)
∴当t=2﹣1时,△ABC的面积被射线QN平分.…(10分)
当t=﹣2﹣1时,MC+NC=
+1+t=
≠
(3+4+5),
∴此时△ABC的周长不被射线QN平分.…(12分)
解析
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