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    （1）如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在直线AB上，∠ECF=∠B，
    ①△ACF与△BEC的关系为
    △ACF∽△BEC
    △ACF∽△BEC
    ．
    ②设△ABC的面积为S，求证：AF•BE=2S．
    （2）如图2，将（1）中的∠ACB=90°改为∠ACB=α°，求证：AF•BE=
    2Ssinα
    ．
    （3）如图3，在 （2）中的条件不变的情况下，（2）中的结论是否成立？（直接写出结论，不用说明理由）
    分析：（1）①可证明∠A=∠B=45°，再根据外角的性质和已知条件可得出∠ACF=∠BEC，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△ACF∽△BEC；
    ②利用相似三角形△ACF∽△BEC的对应边成比例、直角三角形的面积公式证得AF•BE=2S；
    （2）利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△ACF∽△BEC；然后由相似三角形的对应边成比例、三角形的面积公式S=
    1
    2
    absinC证得结论；
    （3）根据等边对等角证得∠A=∠CBA，再根据外角的性质和已知条件可得出∠AFC=∠BCE，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△BEC；然后由相似三角形的对应边成比例、三角形的面积公式S=
    1
    2
    absinC证得结论．
    解答：（1）解：①△ACF∽△BEC，理由为：
    ∵∠ACB=90°，AC=BC，
    ∴∠A=∠B=45°，
    ∴∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°，
    ∵∠ECF=45°，
    ∴∠ACF=∠ACE+45°，
    ∴∠ACF=∠BEC，又∠A=∠B，
    ∴△ACF∽△BEC．
    故答案为：△ACF∽△BEC；

    ②证明：∵△ACF∽△BEC，
    ∴
    AC
    BE
    =
    AF
    BC
    ，
    ∴AC•BC=BE•AF，
    ∴S△ABC=
    1
    2
    AC•BC=
    1
    2
    BE•AF，
    ∴AF•BE=2S；

    （2）证明：∵AC=BC，
    ∴∠A=∠CBA（等边对等角），
    ∴∠BEC=∠ACE+∠A（三角形外角定理）．
    又∵∠ACF=∠ACE+∠ECF，∠ECF=∠CBA，
    ∴∠ACF=∠BEC，
    又∵∠A=∠CBA，
    ∴△ACF∽△BEC；
    ∴
    AC
    BE
    =
    AF
    BC
    ，
    ∴AC•BC=BE•AF，
    ∴S=
    1
    2
    AC•BCsin∠ACB=
    1
    2
    BE•AFsin∠ACB=
    1
    2
    BE•AFsinα，即AF•BE=
    2S
    sinα
    ．

    （3）解：（2）中的结论能成立，理由如下：
    ∵AC=BC，
    ∴∠CAB=∠B（等边对等角），
    ∵∠AFC=∠B+∠FCB（三角形外角定理），∠BCE=∠ECF+∠FCB，∠ECF=∠B
    ∴∠AFC=∠BCE，又∠A=∠B，
    ∴△ACF∽△BEC；
    ∴
    AC
    BE
    =
    AF
    BC
    ，
    ∴AC•BC=BE•AF，
    ∴S=
    1
    2
    AC•BCsin∠ACB=
    1
    2
    BE•AFsin∠ACB=
    1
    2
    BE•AFsinα，即AF•BE=
    2S
    sinα
    ．
    点评：本题考查了相似综合题．涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网下列说法：
    （1）如图1，已知PA=PB，则PO是线段AB的垂直平分线；
    （2）对于反比例函数y=
    2
    x
    ，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上两点，若x1＜x2，则y1＞y2； 
    （3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
    （4）如图2，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则AC=4；
    （5）一组对边平行的四边形是梯形；    
    （6）y=
    k
    x
    是反比例函数；
    （7）若一个等腰三角形的两边长为2和3，那么它的周长为7，
    其中正确的有（　　）个．
    A、0B、1C、2D、5

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：AE=BF；
    （2）为响应市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅（如图2），在乙建筑物的顶部D点测得顶端A点的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的两建筑物之间的水平距离（答案可带根号）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知双曲线y=
    k
    x
    (k＞0)    与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
    （1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为
     
    ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为
     
    ；
    （2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=
    k
    x
    (k＞0)    于P，Q两点，点P在第一象限．
    ①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
    ②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知正方形ABCD，将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转，角的两边分别交AB边和BC边于点E和F，连接EF．求证：EF=AE+CF
    （1）小明是这样思考的：延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，先证△DAE≌△DCG，再证△DEF≌△DGF，请你借助图2，按照小明的思路，写出完整的证明思路．
    （2）刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6，求EF的长②将角∝绕D点继续旋转，使得角∝的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F，如图3所示，猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明．请你帮忙解决．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD．
    （1）试问OE=0F吗？请说明理由．
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