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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;

(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.


       解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,4),

,解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2x+4;

(2)∵E(m,0),B(0,4),PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,

∴P(m,﹣m2m+4),G(m,4),

∴PG=﹣m2m+4﹣4=﹣m2m;

(3)在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似.

∵y=﹣x2x+4,

∴当y=0时,﹣x2x+4=0,

解得x=1或﹣3,

∴D(﹣3,0).

当点P在直线BC上方时,﹣3<m<0.

设直线BD的解析式为y=kx+4,

将D(﹣3,0)代入,得﹣3k+4=0,

解得k=

∴直线BD的解析式为y=x+4,

∴H(m,m+4).

分两种情况:

①如果△BGP∽△DEH,那么=

=

由﹣3<m<0,解得m=﹣1;

②如果△PGB∽△DEH,那么=

=

由﹣3<m<0,解得m=﹣

综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或﹣


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A.

B.

C.

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A.

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C.

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年龄

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6

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A.

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D.

16,16

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