Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b（k＜0）交坐标轴于A、B两点，与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）相交于点M、N．若b=6，则点M，N的横坐标分别为3和6．

（1）直接写出k和m的值；
（2）将直线AB向下平移到与双曲线只有一个公共点的位置．
①求出此时b的值；
②P为双曲线上的一点，经过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为H和G．直线AB分别与直线PG、直线PH相交，交点分别为C和D．直接写出AD•BC的值为26．

Answer 1

分析 （1）把点M，N的横坐标分别为3和6代入y=kx+6得，y=3k+6或y=6k+6，可得M（3，3k+6），N（6，6k+6），由点M、N在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，可得3（3k+6）=6（6k+6），求出k即可解决问题；
（2）①由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=-\frac{2}{3}x+b}\end{array}\right.$，消去y得到-$\frac{2}{3}$x²+bx-12=0，由题意△=0，解方程即可解决问题；
②设P（a，$\frac{12}{a}$），直线AD的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4$\sqrt{2}$，可得A（0，4$\sqrt{2}$），B（6$\sqrt{2}$，0），PH=$\frac{12}{a}$，D（a，4$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$a），作DM⊥y轴于M．则DM=a，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，可得AD=$\frac{\sqrt{13}}{3}$a，想办法求出AD、BC（用a的代数式表示）即可解决问题；

解答 解：（1）把点M，N的横坐标分别为3和6代入y=kx+6得，y=3k+6或y=6k+6，
∴M（3，3k+6），N（6，6k+6），
∵点M、N在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，
∴3（3k+6）=6（6k+6），
∴k=-$\frac{2}{3}$，
∴M（3，4），
∴m=12；
（2）①∵k=-$\frac{2}{3}$，m=12，
设直线AB向下平移后的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x+b，双曲线的解析式为：y=$\frac{12}{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=-\frac{2}{3}x+b}\end{array}\right.$，消去y得到-$\frac{2}{3}$x²+bx-12=0，
由题意△=0，
∴b²-4（-$\frac{2}{3}$）×（-12）=0，
解得b=4$\sqrt{2}$．

②设P（a，$\frac{12}{a}$），直线AD的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4$\sqrt{2}$，
可得A（0，4$\sqrt{2}$），B（6$\sqrt{2}$，0），PH=$\frac{12}{a}$，D（a，4$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$a），
作DM⊥y轴于M．则DM=a，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
可得AD=$\frac{\sqrt{13}}{3}$a，
$\frac{12}{a}$=-$\frac{2}{3}$x_C+4$\sqrt{2}$M
∴x_C=6$\sqrt{2}$-$\frac{18}{a}$，
∴x_N=6$\sqrt{2}$-$\frac{18}{a}$，
∴BN=6$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$+$\frac{18}{a}$=$\frac{18}{a}$，
∴BC=$\frac{18}{a}$×$\frac{\sqrt{13}}{3}$=$\frac{6\sqrt{13}}{a}$，
∴AD•BC=$\frac{\sqrt{13}}{3}$a×$\frac{6\sqrt{13}}{a}$=26．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活运用所学知识解决问题．