Question

某个体经营户把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：

投资A种商品金额 （万元）	1	2	3	4	5	6
获取利润（万元）	0.65	1.40	1.85	2	1.85	1.40
投资B种商品金额 （万元）	1	2	3	4	5	6
获取利润（万元）	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5

（1）设投资A种商品金额x_A万元时，可获得纯利润y_A万元，投资B种商品金额x_B万元时，可获得纯利润y_B万元，请分别在如图所示的直角坐标系中描出各点，并画出图象；
（2）观察图象，猜测并分别求出y_A与x_A，y_B与x_B的函数关系式；
（3）若该经营户准备下月投入资金12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才合算，请你帮助制定一个能获得最大利润的资金投入方案，并计算出这个最大利润是多少．

Answer 1

解：（1）如图：


（2）y_A可能是二次函数，y_B可能是一次函数
设y_A=a（x-4）²+2代入（1，0.65）
得a=-0.15
∴y_A=-0.15（x-4）²+2
经检验其余各点代入均符合上式5
设y_B=kx+b代入（1，0.25），（2，0.5）得

∴y_B=0.25x_B
经检验其余各点代入均符合上式；

（3）设投入x万元经营A商品，投入（12-x）万元经营B商品．
y=y_A+y_B=-0.15（x-4）²+2+0.25（12-x）=-0.15x²+0.95x+4.6

y最大==≈4.1万元
∴投入3.2万元经营A商品，投入8.8万元经营B商品可获得最大利润，最大利润为4.1万元．
分析：（1）观察列表我们可看出，A的函数应该是个二次函数，而且是以（4，2）为顶点．B的函数应该是个正比例函数，且斜率为4．由此可经过描点连线得出图象．
（2）先设出A、B的通式，然后根据列表的信息用待定系数法求出两函数的解析式．要注意的是A的顶点已经知道，可设顶点式二次函数的通式来求解．
（3）根据A，B的总投资额是12万元，那么可用A的投资额表示出B的投资额，然后根据总收益=A的收益+B的收益，将（2）的两函数相加得出新的函数式，然后根据函数的性质求出函数的最值，以及此时自变量的值．也就求出了获利最大的方案．
点评：本题主要考查了二次函数的实际应用，根据得出列表得出函数式的解析式是解题的关键，要注意（3）中两个自变量要根据总投资额来进行统一，而不能直接将函数相加．