Question

2．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为6．

Answer 1

分析 由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来再证明∠GAE=∠FAE，由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可．

解答 解：由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE．
∵AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x-2，FC=x-3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF²=FC²+EC²，即（x-2）²+（x-3）²=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．