Question

【题目】已知△ABC中，∠ACB＝90°，将AB边绕点B顺时针旋转90°得线段BD．过点D作DM⊥BC交BC延长线于M，

（1）如图1，请判断线段AC、CM、MD的数量关系并说明理由；

（2）E为DM延长线上一点，当点E为如图2所示的位置时，以AE为斜边向右侧作等腰Rt△AFE，再过点F作FN⊥DM于N，探究BM、FN、MN三条线段的数量关系，并说明理由；

（3）在问题（2）的条件下，当点E运动到某一位置时点B、A、F三点恰好在同一直线上，取DE中点P，连接AP，且AB＝3，AF＝1，请直接写出AP的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝MD+MC，理由见解析；（2）MN＝FN+BM，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由旋转的性质可得AB=BD，∠ABD=90°，由“AAS”可证△ABC≌△BDM，可得AC=BM，BC=MD，可证AC=MD+MC；
（2）如图2，延长NF，CA交于点H，可证四边形HCMN是矩形，可得MN=HC，∠H=90°，由“AAS”可证△AFH≌△FEN，可得AH=FN，可得结论；
（3）如图3，过点A作AG⊥MN，由相似三角形的性质可得BC=3HF，AC=3AH，由勾股定理可求HF、AH、PE，再利用勾股定理即可求得答案．

（1）AC=MD+MC，

理由如下：

∵将AB边绕点B顺时针旋转90°得线段BD，

∴AB=BD，∠ABD=90°，

∴∠ACB=∠ABD=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBM=90°，

∴∠A=∠DBM，

在△ABC和△BDM中，

，

∴△ABC≌△BDM（AAS）

∴AC=BM，BC=MD，

∵BM=BC+CM，

∴AC=MD+MC；

（2）MN=FN+BM，

理由如下：

如图2，延长NF，CA交于点H，

∵∠ACM=∠BMN=90°，FN⊥MN，

∴四边形HCMN是矩形，

∴MN=HC，∠H=90°，HN=CM，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=EF，∠AFE=90°=∠H，

∴∠HFA+∠HAF=90°，∠HFA+∠NFE=90°，

∴∠NFE=∠HAF，

在△AFH和△FEN中，

，

∴△AFH≌△FEN（AAS）

∴AH=FN，

∵MN=HC=AC+AH，

∴MN=FN+BM；

（3）如图3，延长NF，CA交于点H，过点A作AG⊥MN，

∵∠ACM=∠BMN=90°，FN⊥MN，AG⊥MN，

∴四边形HCMN、ACMG、AGNH是矩形，

∴AG=HN，AH=NG，MN=CH，

∵FN⊥MN，DM⊥BC，

∴NH∥BM，

∴△ABC∽△AFH，

∴，

∴BC=3HF，AC=3AH，

由(2)得：CM=HN，AH=FN，FH=EN，AC=BM，

∴AC﹣BC= BM﹣BC=CM=HN=FH+FN，

∴3AH﹣3HF=HF+AH，

∴AH=2HF，

∵AH2+HF2=AF2=1，

∴HF=，AH=，

∴HN=，BC==MD，AC=，MN=CH= AC+ AH=，

∴DE=MD+MN﹣NE=，

∵点P是DE中点，

∴PE=，

∴AG=HN=，AH=NG=，

∴EG= NG- EN= NG- HF=，

∴GP=EP﹣EG=，

∴．