分析 (1)分别从当0≤x-[x]<$\frac{1}{2}$时与当$\frac{1}{2}$≤x-[x]<1时,去分析求解即可求得答案;
(2)由题意变形的:0≤$\frac{6x+5}{8}$-$\frac{15x-7}{5}$<1①;$\frac{15x-7}{5}$=A(A为整数)②;然后分别将①②,即可得0.9≤$\frac{5A+7}{15}$<$\frac{121}{90}$,继而求得A的值,则可求得x的值.
解答 (1)证明:当0≤x-[x]<$\frac{1}{2}$时,[x+$\frac{1}{2}$]=[x],[2x]=2[x],
∴[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x];
当$\frac{1}{2}$≤x-[x]<1时,[x+$\frac{1}{2}$]=[x]+1,[2x]=2[x]+1,
∴[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x];
综上,[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x];
(2)解:由题意变形的:0≤$\frac{6x+5}{8}$-$\frac{15x-7}{5}$<1①;$\frac{15x-7}{5}$=A(A为整数)②;
分别由①变形进行不等式计算得:0.9≤x<$\frac{121}{90}$③;
由②变形进行变形得:x=$\frac{5A+7}{15}$④;
把③中x的代换④中,0.9≤$\frac{5A+7}{15}$<$\frac{121}{90}$,
化简变形的:1.3≤A<$\frac{79}{30}$,
∴A=2,
∴x=$\frac{17}{15}$.
点评 此题考查了取整函数的性质.注意利用[x]≤x<[x]+1可得到关于x的不等式,并求出x的可能值.
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A. | $\frac{7}{2}$ | B. | $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{41}}{2}$ |
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