Question

已知：有一纸片如图，其中△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BD=CD，点M在BA的延长线上．实施操作：将纸片沿一直线AN折叠，使AM和AC重合，并且过点C作CE⊥AN，垂足为点E．
（1）请用尺规，在图中画出折线AN；（保留作图痕迹）
（2）将图形补全，求证：四边形ADCE为矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？直接写出结论．

Answer 1

（1）解：如图所示：
作出∠CAM的平分线即为折线AN；

（2）证明：如图所示：
BD=CD，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠BAD=∠DAC．
∵由作图知AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN．
∴∠DAN=∠DAC+∠CAN=180°=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

（3）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：
证明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
说明：答案只要正确均应给分．（如DC=AD，BD=AD等）
分析：（1）根据角平分线的作法得出答案即可；
（2）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，我样可以证明四边形ADCE为矩形．
（3）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（2）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
点评：此题主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．