Question

如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的三等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q，使PQ=OQ，则∠CPO=

20°或40°或100°

．

Answer 1

分析：已知如图，连接OC，根据条件可得：∠A0C=60°，设∠CPO=x°，由隐藏条件：OQ=OC可得∠OCQ=∠CQO，再利用三角形外角和定理可建立关于x的方程，求出x的值即可得问题答案，本题还有其他两种情况，解答过程同上．

解答：解：①当P在直线AB延长线上时，如图所示：
连接OC，
设=x°，
∵PQ=OQ，
∴∠OQP=∠CPO=x°，
∴∠CQO=2x°，
∵OQ=OC，
∴∠OCQ=∠CQO=2x°，
∵点C为半圆上的三等分点，
∴∠AOC=60°，
∴x+2x=60，
∴x=20°，
∴∠CPO=20°，
②当P在直线BA延长线上时，∠CPO=40°；
③当P在线段AB上时，∠CPOO=100°，
故答案为：20°或40°或100°

点评：本题考查了圆心角和所对弧之间的数量关系和三角形的外角和定理，根据n°的圆心角对着n°的弧以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半即可解决问题．