Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，利用90°的圆周角所对的弦为直径即可得证；
（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，由O、D分别为AB、CB中点，利用中位线定理得到OD与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；
（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到三角形ABC为等边三角形，设AC与⊙O交于点F，连接BF，DE为三角形CBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为圆O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：
证明：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为圆的半径，
∴DE与圆O相切；
（3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，
设AC与⊙O交于点F，连接BF，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，即DE为△BCF中位线，
在Rt△ABF中，AB=6，AF=3，
根据勾股定理得：BF=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
则DE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：直线与圆相切的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．