Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为正半轴上一动点， 连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点．

(1)求证：≌；

(2)在点的运动过程中，的度数是否会变化?如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由．

(3)当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形?

Answer 1

【答案】详见解析；的度数不会变化，；当点运动到时．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得BO=BA，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，进而可利用SAS证明≌；

（2）设BC、DE交于点F，如图1，根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，根据三角形的内角和定理可得∠CAD=∠CBD，进而可得结论；

（3）易求得∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，即得以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，然后根据30°角的直角三角形的性质可得AE的长，进而可得AC、OC的长，即可得出点C的位置．

解：（1）证明：∵△AOB、△BCD是等边三角形，

∴BO=BA，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，

∴∠OBC=∠ABD，

∴≌（SAS）；

（2）设BC、DE交于点F，如图1，

∵≌，∴∠1=∠2，

∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAD=∠CBD=60°，

∴的度数不会变化，且；

（3）∵，∴∠EAC＝120°，∠OAE＝60°，∴∠OEA＝30°，

∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，

∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．