Question

在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O₁和半圆O₂，其中O₁和O₂分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．

（1）如图一，连接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，证明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）过点A分别作半圆O₁和半圆O₂的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，①如图二，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；②如图三，若连接FA，猜想PQ与FA的位置关系，并说明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图一，
∵O₁，O₂，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O₁F∥AC且O₁F=AO₂，O₂F∥AB且O₂F=AO₁，
∴∠BO₁F=∠BAC，∠CO₂F=∠BAC，
∴∠BO₁F=∠CO₂F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°，
∴∠BO₁D=∠CO₂E．
∴∠DO₁F=∠FO₂E．
∴△DO₁F≌△FO₂E．

（2）解：①如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．
∵点E是半圆O₂圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC==，
∵AQ是半圆O₂的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°
∴AQ=AC=AG=
同理：∠BAP=90°，AB=AP=
∴CG=，∠GAB=∠QAP
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC==
∴BG==
∴PQ=．
②PQ⊥AF．
分析：（1）利用三角形中位线定理以及平行线的性质推知∠BO₁F=∠CO₂F；然后根据平行四边形的对边相等、圆周角定理知O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°；最后利用图形上角间的和差关系求得∠DO₁F=∠FO₂E，由全等三角形的判定定理ASA证得△DO₁F≌△FO₂E；
（2）①延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE，构建全等三角形△AQP≌△AGB；然后根据全等三角形的对应边相等可以求得PQ=BG；最后在直角三角形BCG中利用勾股定理知BG=2，
即PQ=2；
②PQ⊥AF．
点评：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．