Question

20．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．
（1）如图1，BE=AC，若∠ACB=40°，求∠E的度数；
（2）如图2，BE=AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；
（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED=2∠AEB，AF=m＞0，AB=m-4，则CE=$\sqrt{-\frac{3{m}^{2}}{4}+8m-16}$．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质：AC=BD，OB=OC，可得∠DBC=∠ACB=40°，由BD=BE得∠E=∠BDE，可得结论；
（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，先证明△DMG≌△EMC，得AG=AC，根据等腰三角形三线合一得：AM⊥MC；
（3）如图3，取AF的中点P，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：$PD=AP=\frac{1}{2}AF$=$\frac{1}{2}$m证明∠DPE=∠AED，则DE=DP=$\frac{m}{2}$，利用勾股定理可得CE的长．

解答 解：（1）连接BD，与AC交于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=OC
∴∠DBC=∠ACB=40°
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠E=$\frac{180°-40°}{2}=70°$；
（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，
∵AG∥BE，
∴∠GDM=∠E，∠G=∠GCE，
∵M是DE的中点，
∴DM=EM，
∴△DMG≌△EMC，
∴CE=DG，CM=MG，
∴BC+CE=AD+DG，
即AG=BE，
由（1）知：BE=BD=AC，
∴AG=AC，
又∵CM=MG，
∴AM⊥MC；
（3）如图3，取AF的中点P，连接PD，则$PD=AP=\frac{1}{2}AF$=$\frac{1}{2}$m，
∴∠PDA=∠PAD，
在矩形ABCD中，∠AEB=∠PAD，∠AED=2∠AEB，
∴∠DPE=∠PAD+∠PDA=2∠PAD=2∠AEB=∠AED，
∴DE=DP=$\frac{m}{2}$，
在△DEC中，∠DCE=90°，DC=m-4，
∴CE=$\sqrt{D{E^2}-D{C^2}}=\sqrt{{{（\frac{m}{2}）}^2}-{{（m-4）}^2}}=\sqrt{-\frac{{3{m^2}}}{4}+8m-16}$．
故答案为：CE=$\sqrt{-\frac{3{m}^{2}}{4}+8m-16}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质及三角形全等的性质和判定，熟练掌握矩形对角线相等是关键．