Question

12．已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1），易证BD+AB=$\sqrt{2}$CB，过程如下：

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°， ∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°， ∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°， ∴BD+AB=$\sqrt{2}$CB．

∴∠EAC=∠BDC 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=$\sqrt{2}$CB． 又∵BE=AE+AB， ∴BE=BD+AB．

（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=$\sqrt{2}$时，则CD=2，CB=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ACE≌△DCB（ASA），进而得出△ECB为等腰直角三角形，求出BD、AB、CB之间的关系即可；
（2）根据已知得出△BDH是等腰直角三角形，进而得出DC，CB的长．

解答 解：（1）如图（2）：AB-BD=$\sqrt{2}$CB．

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCD}\\{AC=DC}\\{∠CAE=∠CDB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=$\sqrt{2}$CB．

如图（3）：BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCD}\\{AC=DC}\\{∠CAE=∠CDB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=$\sqrt{2}$CB．

（2）如图（2），过点B作BH⊥CD于点H，

∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴CB=CH+BH=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：2，$\sqrt{3}$+1．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．