Question

18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+4与x，y轴分别交于A，B两点，直线y=-$\frac{1}{3}$x+n与x，y轴分别交于C，D两点，点E（-$\frac{9}{7}$，$\frac{10}{7}$）是这两条直线的交点．
（1）求m，n的值；
（2）若点P是直线AB上一动点（不与点A重合），若△AOB与△ACP相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把交点E的坐标分别代入两直线解析式即可求得m、n的值；
（2）由两直线解析式可分别求得A、B、C的坐标，可设出P点坐标，分别表示出AP、PC的长，且可求得AC、AO、BO的长，根据相似三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵点E（-$\frac{9}{7}$，$\frac{10}{7}$）是直线y=mx+4和直线y=-$\frac{1}{3}$x+n的交点，
∴$\frac{10}{7}$=-$\frac{9}{7}$m+4，$\frac{10}{7}$=-$\frac{1}{3}$×（-$\frac{9}{7}$）+n，
解得m=2，n=1；
（2）由（1）可知直线AB解析式为y=2x+4，
令y=0可得2x+4=0，解得x=-2，令x=0可得y=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
直线CD解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
令y=0可得-$\frac{1}{3}$x+1=0，解得x=3，
∴C（3，0），
∴AO=2，BO=4，AC=3-（-2）=5，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵P点在直线AB上，
∴可设P点坐标为（t，2t+4），
∵Rt△AOB与Rt△ACP相似，
∴有∠ACP=∠AOB=90°和∠AOB=∠APC=90°两种情况，
①当∠ACP=∠AOB=90°时，则可知t=3，代入直线AB解析式可得y=2×3+4=10，
∴P（3，10）；
②当∠APC=∠AOB=90°时，
∵△AOB∽△APC，
∴$\frac{OA}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{2}{AP}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AP=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{[t-（-2）]^{2}+（2t+4）^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得t=-1或t=-3，当t=-3时，∠APC≠90°，舍去，
∴P（-1，2）；
综上可知，当△AOB与△ACP相似时，点P的坐标为P（3，10）或P（-1，2）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、相似三角形的性质、分类讨论及方程思想等知识．在（1）中掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出相应线段长度，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点相对较少，综合性较强，但难度不大，较易得分．