Question

15．已知一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，BC∥x轴，且∠ACB的正切值为3．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如果二次函数图象经过A、B、C三点，试求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（3）如果在y轴上有一点D，使得△ABD与△ABC相似，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，BC∥x轴，且∠ACB的正切值为3，可以分别求得点A、B、C的坐标；
（2）根据（1）求得点点A、B、C的坐标，可以求得过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（3）根据题意可知要使得△ABD与△ABC相似，存在两种情况，计算出两种情况下点D的坐标即可解答本题．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，
将y=0代入y=-x+3得x=3，将x=0代入y=-x+3得y=3，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
又∵BC∥x轴，且∠ACB的正切值为3，作AE⊥BC于点E，如右图所示，
∴AE=OB=3，OA=BE=3，3=$\frac{AE}{CE}$，
解得，CE=1，
∴BC=BE+CE=4，
∴点C的坐标是（4，3），
即点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标是（4，3）；
（2）设过点A（3，0）、B（0，3）、C（4，3）三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=3}\\{a×{4}^{2}+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
即过A、B、C三点的抛物线的解析式是y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴过A、B、C三点的抛物线的顶点M的坐标是（2，-1）；
（3）当点D在y轴上且在点B的上方时，则∠ABD＞90°，而△ABC的三个角都是锐角，故此种情况不存在；
当点D在y轴上且在点B的下方时，
∵∠OBA=∠ABC=45°，△ABD∽△ABC，
∴$\frac{AB}{AB}=\frac{BD}{BC}$或$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又∵BC=4，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
∴BD=BC=4或BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}=\frac{（3\sqrt{2}）^{2}}{4}=\frac{9}{2}$，
∵点B的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（0，-1）或（0，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会求函数的解析式，可以将抛物线的解析式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想解答问题．