Question

10．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、BN的中点．
（1）求证：DM=BN；
（2）四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；
（3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形；
（3）利用对角线相等的菱形是正方形即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
在△MQD和△NPB中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=BN}\\{∠MDQ=∠NBP}\\{DQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AN，
∴MQ=$\frac{1}{2}$BM，
∵MP=$\frac{1}{2}$BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形；
（3）当AD=2AB时，四边形MQNP是正方形；
如图1，连接PQ，
∵PQ⊥MN．AD⊥MN，
∴PQ∥AD，
∵点P是BM的中点，
∴AD=2PQ，
∵AD=2AB，
∴PQ=AB，
∵MN=AB，
∴MN=PQ，
由（2）知，四边形MQNP是菱形；
∴菱形MQNP是正方形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，判断出四边形MQNP是菱形是解本题的关键，属于基础题目．