Question

正方形ABCD的边AB是⊙O的弦，CF切⊙O于点E，交AD于点F，且切点E在正方形的内部，AE，BE的长是方程x²-3x+m=0两个实根．
（1）当AB是⊙O的直径时（如图），
①用含m的代数式表示AB的长；
②求m的值和AF的长；
（2）当AB不是⊙O的直径时，△ABE能否与以B、C、E为顶点的三角形相似？请说明理由，若相似，求AE+AB的长．

Answer 1

分析：（1）①根据圆周角定理知∠AEB=90°，则△ABE是直角三角形，利用韦达定理及勾股定理即可得到AB的表达式；
②连接OC，交BE于M，由切线长定理知∠ECO=∠BCO，即∠EOC=∠BOC，那么由垂径定理即可得到OC垂直平分BE；由于AB=BC，易证得△BMC≌△AEB，则BE=CM=2BM，由此可得到BM、OM、MC的比例关系式，由于OM=

1

2

AE（三角形中位线定理），根据AE+BE的值，即可求得OM、MC的长，从而得到AE、BE的值，也就能求出m的值和AB的长；
连接OF，交AE于N，同上可证得OF垂直平分AE，则ON是△ABE的中位线，那么∠AOF和∠ABE的正切值相等，已知了OA的长，即可得到AF的长．
（2）由于CE切⊙O于E，由弦切角定理知∠CEB=∠EAB，由于E在正方形内部，即AE不与BC平行，所以∠AEB与∠EBC不相等，若两三角形相似，只有∠AEB=∠ECB，可得BE²=AB•BC=AB²，即BE与正方形的边长相等，因此两个三角形有可能相似，且此时AE+AB=AE+BE=3．

解答：解：（1）①根据题意，有AE，BE的长是方程x²-3x+m=0两个实根，
则AE+BE=3，AE•BE=m；
又有AB是⊙O的直径，可得AB²=AE²+BE²，
化简可得：AB²=（AE+BE）²-2AE•BE=9-2m，
故AB=

9-2m

；
②连接OC、OF，分别交BE、AE于M、N，连接OE；
∵CE、CB都是⊙O的切线，
∴∠ECO=∠BCO，∠OEC=∠OBC=90°，
∴∠EOC=∠BOC，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中点，∴OM是△ABE的中位线，即AE=2OM；
△ABE和△BMC中：
AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB（弦切角定理），
∴△AEB≌△BMC，即MC=BE=2BM=4OM；
设OM=x，则AE=BM=2x，BE=MC=4x，
∵AE+BE=3，即2x+4x=3，故x=

1

2

，
∴AE=1，BE=2，m=AE•E=2，AB=

5

；
同理可证得ON是△ABE的中位线，则ON∥BE，∠AOF=∠ABE，
∴tan∠AOF=tan∠ABE=

1

2

，即AF=

1

2

OA=

1

4

AB=

5

4

．

（2）由于CF切⊙O于E，则∠CEB=∠EAB；
∵点E在正方形ABCD的内部，
∴AE、BC不平行，即∠AEB≠∠CBE；
若△ABE能否与以B、C、E为顶点的三角形相似，
则必有∠AEB=∠ECB，此时：

BE

AB

=

BC

BE

，即BE²=AB²，BE=AB；
所以△ABE可以与以B、C、E为顶点的三角形相似，此时BE等于正方形的边长；
那么AE+AB=AE+BE=3．

点评：此题考查了正方形的性质、切线的性质、弦切角定理、垂径定理、三角形中位线定理以及全等三角形、相似三角形的判定和性质等重要知识点，理清图中线段、角之间的关系是解答此题的关键．