A. | n=$\frac{1}{2}$ | B. | 0<n≤$\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{1}{2}$≤n<1 | D. | 无法确定 |
分析 作FH⊥AC于H,如图,设BN=1,则BF=n,半圆的半径为r,根据切线的性质得∠MAB=∠NBA=90°,易得四边形ABFH为矩形,所以HF=2r,AH=BF=n,再根据切线长定理得到CE=CA,FE=FB=n,设CA=t,则CE=t,CH=t-AH=t-n,在Rt△CHF中利用勾股定理得(t-n)2+(2r)2=(t+n)2,解得t=$\frac{{r}^{2}}{n}$,接着证明Rt△BON∽Rt△ACB,然后利用相似比得可计算出n=$\frac{1}{2}$.
解答 解:作FH⊥AC于H,如图,设BN=1,则BF=n,半圆的半径为r,
∵AM、BN为半圆的切线,
∴∠MAB=∠NBA=90°,
∴四边形ABFH为矩形,
∴HF=2r,AH=BF=n,
∵CF切半圆于E点,
∴CE=CA,FE=FB=n,
设CA=t,则CE=t,CH=t-AH=t-n,
在Rt△CHF中,∵CH2+FH2=CF2,
∴(t-n)2+(2r)2=(t+n)2,解得t=$\frac{{r}^{2}}{n}$,
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵ON⊥BD,
∴AD∥ON,
∴∠BON=∠BAD,
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BAD=∠ACD,
∴∠BON=∠ACB,
∴Rt△BON∽Rt△ACB,
∴$\frac{OB}{AC}$=$\frac{BN}{AB}$,即$\frac{r}{\frac{{r}^{2}}{n}}$=$\frac{1}{2r}$,
∴n=$\frac{1}{2}$.
故选A.
点评 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切线长定理;会运用相似比和勾股定理计算线段的长.
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