Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴相交于点C，且抛物线经过点（2，2）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，是的以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）H（1，）；

（3）不存在，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），（2，2）代入抛物线解析式列方程组解决问题．

（2）如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系数法求出直线BC解析式，与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；

（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时；（ii）当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．

试题解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），（2，2）代入抛物线解析式

得解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）如图1，连接BC交对称轴于点H，

由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入得：

，解得：，∴直线BC解析式为y=﹣x+2，

令x=1，得到y=，即H（1，）；

（3）不存在．

分两种情况考虑：（i）不妨设△ACB∽△ABM时，如图2中，

则有∠CAB=∠MAB=45°，∴直线AM为y=﹣x﹣2，由解得或，

∴点M坐标（8，﹣10），此时AM=10，∵=， ==，∴，

∴△ABC与△AMB不相似．

（ii）不妨设△ACB∽△MBA时，如图3中，

则∠ABC=∠MAB，∴BC∥AM，∵直线BC解析式为y=﹣x+2，∴直线AM解析式为y=﹣x﹣1，

由解得或，∴AM=4，∵==， ，∴

，△ACB与△MBA不相似．

综上所述，在第四象限内，抛物线上不存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．