Question

6．如图，已知点A（$\frac{1}{2}$k+1，-k-3）、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（|k|＞3）上，作等腰直角三角形△BCD，点F为斜边BD的中点，连FC并延长交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）△DCE的面积是多少？
（3）若点A在直线BD上，请求出直线BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A（$\frac{1}{2}$k+1，-k-3）代入y=$\frac{k}{x}$（|k|＞3），即可求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）设B（a，-$\frac{6}{a}$），根据反比例函数系数k的几何意义和等腰直角三角形的性质求得DC=BC=-$\frac{6}{a}$，OE=OC=-a，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）求得A的坐标，根据等腰直角三角形求得直线BD的斜率，设直线BD为y=x+b，代入A的坐标，即可求得b的值．

解答 解：（1）∵点A（$\frac{1}{2}$k+1，-k-3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（|k|＞3）上，
∴-k-3=$\frac{k}{\frac{1}{2}k+1}$，
解得：k₁=-1，k₂=-6，
∵|k|＞3，
∴k=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$；
（2）∵△BCD是等腰直角三角形，点F为斜边BD的中点，
∴CF平分∠BCD，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECO=∠DCF=45°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∴OE=OC，
设B（a，-$\frac{6}{a}$），
∴DC=BC=-$\frac{6}{a}$，OE=OC=-a，
∴△DCE的面积为=$\frac{1}{2}$DC•OE=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{a}$）×（-a）=3；
（3）∵k=-6，
∴A（-2，3），
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴直线BD的斜率为1，
设直线BD为y=x+b，
∵点A在直线BD上，
∴3=-2+b，
解得b=5，
∴直线BD的解析式为y=x+5．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△COE是等腰直角三角形．