Question

20．⊙O的半径为r，它的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c．
（1）求a，b，c；
（2）以a，b，c为边可否构成三角形？如果能，构成的是什么三角形？如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．．

解答 解：（1）如图1所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
故a=BC=2BD=$\sqrt{3}$r；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
故b=BC=$\sqrt{2}$r；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=$\frac{1}{2}$r，
c=AB=2AG=r；
（2）能构成三角形，构成直角三角形；理由如下：
∵a=$\sqrt{3}$r，b=$\sqrt{2}$r，c=r，
∴c²+b²=a²，
∴能构成直角三角形．

点评 本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质；根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．